解锁诱导公式的“发现密码”
——《诱导公式（一）》教学设计
字数：2693
2025-05-11
版名：教育理论
□赵慧哲
问题导向式教学提倡让学生成为课堂的主人，重视学生在课堂中主动生成知识的过程。最近发展区理论指出，教师通过精心设计的问题序列，可以搭建学生现有认知水平与潜在发展水平之间的桥梁。发现学习理论主张，在教师引导下，学生像数学家一样经历知识发现的过程。问题导向式教学能够使学生的学习从“机械接受”转向“主动生成”，引导学生经历知识的生成过程，提升深度思考和解决问题的能力。
在学习《诱导公式》之前，学生学习了《三角函数的概念》（单位圆法），了解到三角函数的性质就是圆的几何性质的解析表达。本节课在研究方法上要求借助单位圆的对称性，从定义出发几何直观地推导诱导公式。本节课将探索以问题为导向的课堂构建，通过问题串引导学生厘清新旧知识的内在联系，完成新知识的探索和应用。
一、教学目标
1.理解三角函数诱导公式的意义和作用，经历推导诱导公式的过程，培养数形结合、直观想象、类比等数学思想方法。
2.运用诱导公式求值、化简，总结方法，培养转化与化归的能力。
二、教学重难点
1.重点：探究诱导公式，归纳运用诱导公式解题的一般步骤，进行求值、化简、证明。
2.难点：发现圆的对称性与三角函数之间的关系。
三、教学环节
1.问题导入，启发思考
问题1：π /3 和 4π/3 的正弦值、余弦值分别是多少？你是怎么求解的？
问题2：两个角的终边分别与单位圆相交，得到的两个交点之间有什么几何关系？（关于原点对称）
问题3：请分别写出与点M（x,y）有如下对称性的点的坐标：
（ 1）关于原点对称的点。（ 2）关于x轴对称的点。
（ 3）关于y轴对称的点。
问题4：上节课我们学习了终边相同的角的同名三角函数相等，那么当角的终边不同时，有什么特殊的位置关系值得研究？
设计意图：通过问题串，让学生建立起单位圆的对称性和三角函数之间的联系，进一步认识到学习诱导公式的意义。
2.公式二探究——终边关于原点对称的角的三角函数关系
（ 1）探究公式二
设任 意角 α 的终边与单位圆交于点P（x,y），作点P关于原点的对称点Q。
问题1：以 OQ 为终边的角 β 与角 α 有什么关系？
根据对称性，β= α + π + 2 k π ，由前面学习的公式一可知，只需要研究 β = α + π即可。
问题 2：角 β 与角 α 的三角函数值有什么关系？
根据三角函数的定义，已知 P（ cos α ，s inα ），Q（cos β ， sinβ
根据角 β 与 角 α 的 关 系 ，可 得 ：Q（cos （π +α），sin（π +α）），
又根据点P和点Q关于原点对称，可得：Q（-cosα ， -sinα），
从而有公式二 ：sin （π+ α）= -sin α ，cos（π +α）= -cosα ， tan （π+ α）= tanα 。
（ 2）总结研究路径
问题3：如何理解“任意角 α ”？
方式一：教师通过 GeoGebra对角 α取多个具体值来直观验证公式二的成立。
方式二：无论 α 的终边落在什么位置，点P和点Q关于原点对称的位置关系不变，角β 与角 α 的数量关系不变，公式二所对应的三角函数的关系不变。
设计意图：教师通过问题引导学生数形结合地发现α与π+α的三角函数关系，总结研究诱导公式的路径，为后续研究公式三至公式六提供基本思路。最后，分别通过信息技术和逻辑解释帮助学生进一步理解公式。
3.公式三探究——终边关于x轴对称的角的三角函数关系
问题1：你能类比上述研究路径，探究终边关于x轴对称的角的三角函数关系吗？
此处让学生在导学案上写出探究过程和结果，教师选择一位学生的导学案投影展示，厘清探究思路、展示探究结果，并对其中的典型错误进行分析、更正。
得 到 公 式 三 ：sin（ -α）= -sin α ，cos （- α）= cos α ，tan（ -α）= -tan α 。
问题2：你能利用公式三简单判断三角函数的奇偶性吗？
设计意图：公式三的探究是学生首次自行探索的过程。在这里，可能有些学生的思路尚不清晰。因此，教师通过投影分享学生探索过程，明确探索思路。此外，教师设计了拓展问题，让学生利用公式三来简单判断三角函数的奇偶性，为后期学习三角函数的图像和性质作铺垫。
4.公式四探究——终边关于y轴对称的角的三角函数关系
此处让学生在导学案上写出公式四的探究过程和结果。
得 到 公 式 四 ：sin （π- α）= sin α ，cos （π- α）= -cos α ， tan（π-α）= -tan α 。
问题1：你能通过公式四简单判断三角函数图像的对称性吗？
问题2：你能通过公式二和公式三推导得到公式四吗？
学生在导学案上应用公式二和公式三来推导公式四，教师走到学生身边进行指导。
设计意图：此时学生能够独立完成公式四的探究。教师深入推进学习，让学生结合已有知识探索三角函数图像的对称性，并且尝试通过公式二、三推导公式四。
5.公式应用
深化练习：计算cos π/5 +cos 2π/5 +cos 3π/5 +cos 4π/5 。
方法1：应用诱导公式；方法2：回归几何意义——单位圆。
设计意图：例题部分设置了诱导公式常见的三类题型：给值求值、给角求值、化简求值（此处略），还引导学生归纳总结解题方法。在课堂的最后，学生探索解决深化练习的多种方法，进一步思考诱导公式的几何意义——单位圆。在教学中实现了和课堂导入部分的呼应，强调了诱导公式的几何背景。
6.课堂小结
（ 1）研究路径；
（ 2）诱导公式一至四；
（ 3）任意角三角函数的转化思路；
（ 4）数学思想方法：数形结合、直观想象、类比。
点评
在优质的教学设计中，教师是导演，学生是演员，如何让剧情跌宕起伏，关键在于导演如何去导。这就是教学中常说的“以教师为主导、以学生为主体”。
本节课最突出的亮点在于构建了“问题+探究”的教学形式，通过层层递进的问题设计，为学生提供了适宜的脚手架，将传统的公式传授课堂转变为教师引导学生探究学习的过程。具体表现为：1.在课堂导入部分，教师引导学生建立起单位圆的对称性和三角函数之间的联系；2.在公式二至四的探究教学中，教师先以公式二为示范，通过设计问题带领学生完成公式二的探究活动，并且简明扼要地总结了研究思路，帮助学生类比公式二完成公式三、四的探究。在此过程中，教师根据学生表现，和学生共同提炼出亮点和典型问题，体现了以教师为主导、以学生为主体的理念。
教师在教学中构建了学科素养的渗透路径：1.本节课紧抓诱导公式的几何背景，在课堂导入和探究部分引导学生根据单位圆的对称性得出代数关系，其间又借助动态几何软件，将抽象关系可视化，帮助学生建立几何直观与代数表达的双向联系；2.在课堂探究和公式应用的教学中，教师充分调动学生采用类比和归纳的思维解决问题，并结合学生的真实推导情况完善其推导过程。本节课实现了几何直观、逻辑推理、数学抽象等素养的发展，培养学生数形结合、直观想象、类比、转化与化归等能力。
本节课起到了承前启后的作用：1.回归单位圆定义法，以此为工具推导新公式，实现知识衔接；2.延续“几何性质→代数表示”的研究路径，实现方法延续；3.从静态定义到旋转对称性的动态变换，实现思维提升；4.本节课探究了三角函数图像的对称性，对公式的探究经验为后续“发现余弦定理”等提供范式；5.培养学生的公式变形能力、渗透化归思想和数形结合思想，为后续深入学习奠定基础。
（点评教师：正高级、特级教师 任栋）
问题导向式教学提倡让学生成为课堂的主人，重视学生在课堂中主动生成知识的过程。最近发展区理论指出，教师通过精心设计的问题序列，可以搭建学生现有认知水平与潜在发展水平之间的桥梁。发现学习理论主张，在教师引导下，学生像数学家一样经历知识发现的过程。问题导向式教学能够使学生的学习从“机械接受”转向“主动生成”，引导学生经历知识的生成过程，提升深度思考和解决问题的能力。
在学习《诱导公式》之前，学生学习了《三角函数的概念》（单位圆法），了解到三角函数的性质就是圆的几何性质的解析表达。本节课在研究方法上要求借助单位圆的对称性，从定义出发几何直观地推导诱导公式。本节课将探索以问题为导向的课堂构建，通过问题串引导学生厘清新旧知识的内在联系，完成新知识的探索和应用。
一、教学目标
1.理解三角函数诱导公式的意义和作用，经历推导诱导公式的过程，培养数形结合、直观想象、类比等数学思想方法。
2.运用诱导公式求值、化简，总结方法，培养转化与化归的能力。
二、教学重难点
1.重点：探究诱导公式，归纳运用诱导公式解题的一般步骤，进行求值、化简、证明。
2.难点：发现圆的对称性与三角函数之间的关系。
三、教学环节
1.问题导入，启发思考
问题1：π /3 和 4π/3 的正弦值、余弦值分别是多少？你是怎么求解的？
问题2：两个角的终边分别与单位圆相交，得到的两个交点之间有什么几何关系？（关于原点对称）
问题3：请分别写出与点M（x,y）有如下对称性的点的坐标：
（ 1）关于原点对称的点。（ 2）关于x轴对称的点。
（ 3）关于y轴对称的点。
问题4：上节课我们学习了终边相同的角的同名三角函数相等，那么当角的终边不同时，有什么特殊的位置关系值得研究？
设计意图：通过问题串，让学生建立起单位圆的对称性和三角函数之间的联系，进一步认识到学习诱导公式的意义。
2.公式二探究——终边关于原点对称的角的三角函数关系
（ 1）探究公式二
设任 意角 α 的终边与单位圆交于点P（x,y），作点P关于原点的对称点Q。
问题1：以 OQ 为终边的角 β 与角 α 有什么关系？
根据对称性，β= α + π + 2 k π ，由前面学习的公式一可知，只需要研究 β = α + π即可。
问题 2：角 β 与角 α 的三角函数值有什么关系？
根据三角函数的定义，已知 P（ cos α ，s inα ），Q（cos β ， sinβ
根据角 β 与 角 α 的 关 系 ，可 得 ：Q（cos （π +α），sin（π +α）），
又根据点P和点Q关于原点对称，可得：Q（-cosα ， -sinα），
从而有公式二 ：sin （π+ α）= -sin α ，cos（π +α）= -cosα ， tan （π+ α）= tanα 。
（ 2）总结研究路径
问题3：如何理解“任意角 α ”？
方式一：教师通过 GeoGebra对角 α取多个具体值来直观验证公式二的成立。
方式二：无论 α 的终边落在什么位置，点P和点Q关于原点对称的位置关系不变，角β 与角 α 的数量关系不变，公式二所对应的三角函数的关系不变。
设计意图：教师通过问题引导学生数形结合地发现α与π+α的三角函数关系，总结研究诱导公式的路径，为后续研究公式三至公式六提供基本思路。最后，分别通过信息技术和逻辑解释帮助学生进一步理解公式。
3.公式三探究——终边关于x轴对称的角的三角函数关系
问题1：你能类比上述研究路径，探究终边关于x轴对称的角的三角函数关系吗？
此处让学生在导学案上写出探究过程和结果，教师选择一位学生的导学案投影展示，厘清探究思路、展示探究结果，并对其中的典型错误进行分析、更正。
得 到 公 式 三 ：sin（ -α）= -sin α ，cos （- α）= cos α ，tan（ -α）= -tan α 。
问题2：你能利用公式三简单判断三角函数的奇偶性吗？
设计意图：公式三的探究是学生首次自行探索的过程。在这里，可能有些学生的思路尚不清晰。因此，教师通过投影分享学生探索过程，明确探索思路。此外，教师设计了拓展问题，让学生利用公式三来简单判断三角函数的奇偶性，为后期学习三角函数的图像和性质作铺垫。
4.公式四探究——终边关于y轴对称的角的三角函数关系
此处让学生在导学案上写出公式四的探究过程和结果。
得 到 公 式 四 ：sin （π- α）= sin α ，cos （π- α）= -cos α ， tan（π-α）= -tan α 。
问题1：你能通过公式四简单判断三角函数图像的对称性吗？
问题2：你能通过公式二和公式三推导得到公式四吗？
学生在导学案上应用公式二和公式三来推导公式四，教师走到学生身边进行指导。
设计意图：此时学生能够独立完成公式四的探究。教师深入推进学习，让学生结合已有知识探索三角函数图像的对称性，并且尝试通过公式二、三推导公式四。
5.公式应用
深化练习：计算cos π/5 +cos 2π/5 +cos 3π/5 +cos 4π/5 。
方法1：应用诱导公式；方法2：回归几何意义——单位圆。
设计意图：例题部分设置了诱导公式常见的三类题型：给值求值、给角求值、化简求值（此处略），还引导学生归纳总结解题方法。在课堂的最后，学生探索解决深化练习的多种方法，进一步思考诱导公式的几何意义——单位圆。在教学中实现了和课堂导入部分的呼应，强调了诱导公式的几何背景。
6.课堂小结
（ 1）研究路径；
（ 2）诱导公式一至四；
（ 3）任意角三角函数的转化思路；
（ 4）数学思想方法：数形结合、直观想象、类比。
点评
在优质的教学设计中，教师是导演，学生是演员，如何让剧情跌宕起伏，关键在于导演如何去导。这就是教学中常说的“以教师为主导、以学生为主体”。
本节课最突出的亮点在于构建了“问题+探究”的教学形式，通过层层递进的问题设计，为学生提供了适宜的脚手架，将传统的公式传授课堂转变为教师引导学生探究学习的过程。具体表现为：1.在课堂导入部分，教师引导学生建立起单位圆的对称性和三角函数之间的联系；2.在公式二至四的探究教学中，教师先以公式二为示范，通过设计问题带领学生完成公式二的探究活动，并且简明扼要地总结了研究思路，帮助学生类比公式二完成公式三、四的探究。在此过程中，教师根据学生表现，和学生共同提炼出亮点和典型问题，体现了以教师为主导、以学生为主体的理念。
教师在教学中构建了学科素养的渗透路径：1.本节课紧抓诱导公式的几何背景，在课堂导入和探究部分引导学生根据单位圆的对称性得出代数关系，其间又借助动态几何软件，将抽象关系可视化，帮助学生建立几何直观与代数表达的双向联系；2.在课堂探究和公式应用的教学中，教师充分调动学生采用类比和归纳的思维解决问题，并结合学生的真实推导情况完善其推导过程。本节课实现了几何直观、逻辑推理、数学抽象等素养的发展，培养学生数形结合、直观想象、类比、转化与化归等能力。
本节课起到了承前启后的作用：1.回归单位圆定义法，以此为工具推导新公式，实现知识衔接；2.延续“几何性质→代数表示”的研究路径，实现方法延续；3.从静态定义到旋转对称性的动态变换，实现思维提升；4.本节课探究了三角函数图像的对称性，对公式的探究经验为后续“发现余弦定理”等提供范式；5.培养学生的公式变形能力、渗透化归思想和数形结合思想，为后续深入学习奠定基础。
（点评教师：正高级、特级教师 任栋）
