董重阳
　　新一轮课程改革的推进，使得我们更加关注课堂教学中教师与学生的活动研究，改变灌输式的教学和学生被动学习的状态是亟待解决的问题。新课改下数学教学更加关注学生全面发展，这就要求数学教育工作者要将数学学科知识、教学知识和教学理论相结合，在数学教学内容上，追求本质的同时要注意精简和直观的特点，在教学方法上要注意灵活性和多样化。这就要求数学教育工作者需要有更高的专业素质，为此，本文从MPCK视角下对高中数学教学作以研究。
　  一、MPCK理论简介
　　学科教学法知识（PedagogicalCon-tentKnowledge）简称PCK，是美国学者舒尔曼于1986年提出的，他认为教师除了需要具有教学知识外更应具备学科知识，将学科知识和教学知识分离是一种“范式的缺失”，并对此现象做了大量的研究。舒尔曼认为PCK的内涵是“用专业学科知识和教育知识综合去理解特定主体的教学是如何组织、呈现以适应学生不同兴趣和能力的”，后来国内外的学者对PCK做了大量的研究，在此基础上，我国学者针对数学学科的PCK进行了深入的研究。
　　数学学科教学知识MPCK是英文单词Mathematics、Pedagogical、Content、Knowl-edge首字母的缩写，不同学者对于MPCK的组成有不同的结构划分。著名数学教育家范良火认为，数学学科教学知识包括：教学的课程知识、教学的内容知识以及教学的方法知识。童莉认为MPCK包含了教师怎么教和教什么这两类问题。董涛认为其包含了数学教学的统领性观念、内容组织的知识、学生理解的知识、效果反馈的知识以及教学策略的知识这五个方面。虽然各学者关于MPCK的结构组成有不同的见解，但其核心内容都是一致的，它可以看做是由数学学科知识MK（MathematicsKnowledge）、一般教学法知识PK（PedagogicalKnowledge）和有关数学学习的知识CK（ContentKnowledge）三者有机整合，从而将教师理解的数学知识通过多渠道及多种方式转化为学生所要掌握的知识、技能与素养。
　　二、MPCK视角下高中数学概念教学的分析探讨
　　教育学家陶志琼老师说，东方有课堂，西方有课堂，此见同，此识同：皆以展示和开启智慧为首要使命。东方有教师，西方有教师，此心同，此理同：皆以完成展示和开启智慧之使命为使命。下面从MPCK视角下对高中数学概念教学进行研究。
　　1.概念教学的数学学科知识（MK）
　　概念学习是数学学习的核心内容，学生对数学概念的理解将直接影响学生是否能够顺利应用数学知识解决问题。2017版的高中数学新课程标准中必修内容的五个主题：预备知识、函数、几何与代数、概率与统计、数学建模活动与数学探究活动，其中前四个主题中都包含了高中数学核心概念。例如，集合的概念、函数的概念、向量的概念以及概率的概念，在它们的基础上都会衍生出很多相关概念。
　　教师在概念课教学时首先要有各个概念的教学体系，也就是必须具备MK，掌握数学概念的内涵和外延，能够将其放在合理的情境中进行体会，与相关知识结合，这是教师教学中必须具备的硬件条件。
　　比如函数的概念，教师首先要明确初高中函数概念的侧重点，初中函数概念侧重于“变化说”，而高中函数的概念是在集合的角度下给出强调与之间的对应关系，但其本质都是一样的，只是高中函数的概念更加抽象，语言描述更加严谨规范，更具有一般性。如狄利克雷函数在初中函数的概念理解下我们很难理解它是函数，但是从高中函数概念的对应关系上我们便可以肯定它是定义在实数域R上的对应关系的函数。其次，教师还要从学科教学更高的角度来看函数概念，不仅掌握函数的概念，还要掌握由其衍生出的概念，整体把握概念结构：
　　最后，教师应对函数概念在解决问题和信息交流等方面的应用做一个归纳整理，这才是对一个概念在整个起源经过和应用上的纵向及横向的全面掌握。
　　2.数学概念学习的相关知识（CK）
　　数学概念是反映事物本质属性的思维形式，因此数学概念代表的是一类对象，而不是个别对象，它反映了一类对象内在的、固有的属性，所以学习数学概念就是学习积累事物所具有的共同本质属性。具体地说，学习数学概念首先要能够辨别本质属性和非本质属性，能够抽象概括出定义，在此基础上，可以举出概念的正例和反例加以说明，最终能够从特殊到一般，抽象到具体获得数学概念。
　　从心理学的过程看，数学概念的形成有两种抽象过程：一是一般化抽象，减少概念的要求，使其使用于更一般的数学对象，此时原本的数学概念与抽象出来的数学对象之间还保持着双向的联系，学习者可以在不同的学习情境中辨认数学对象，也可以由数学对象联想到特殊的数学概念。二是分离式抽象，这是将概念与其背景进行分离，此时产生的数学对象与原本的数学概念再无关联。数学概念的学习要经过一系列的活动过程并进行数学思维才能真正地领悟和理解。高中数学教师在概念教学中需要做到以下三点：一是积累比较多样化的从具体到抽象的活动经验；二是帮助学生更好地理解数学和学会数学的思维方式；三是通过数学抽象更好地发展学生解决问题的能力。
　　3.概念教学的一般教学法知识（PK）
　　针对数学概念的学习一般有形成概念和概念的同化两种教学方法。概念的形成教师会为学生创设大量的具体的例子，学生从自己的实际经验出发，直接归纳概括出这类事物的一般属性。这个过程中实际上运用了合情推理中的归纳推理，从特殊到一般，概念形成一般需要以下七个环节：辨别各种刺激模式、分化各种刺激的属性、类化共同属性、抽象本质属性、检验确认属性、概括形成属性、用形式化的符号表示。比如在函数奇偶性的教学中就可以利用概念的形成进行教学设计。
　　事实上，并非所有的高中数学概念都适合概念形成式的教学，比如说弧度制，就需要进行概念同化的教学方法。概念同化是指达到一定心理水平的人自觉学习概念的方式，这是一种有意义的接受学习，比较省时，但需要学生进行积极的思维活动。概念同化分为五个阶段：一是直接揭示研究对象的定义、名称、符号；二是对概念进行特殊的分类；三是建立与原有知识之间的联系，同化新的概念；四是提供肯定例证和否定例证；五是实际应用强化概念。其中最关键的步骤是步骤三，要把新概念纳入原有概念中，进行意义建构，如在接受了弧度制后要引导学生思考它与角度制之间有怎样的联系，使得学生可以将数学概念结构化、体系化。
　　另外美国学者杜宾斯基根据其对高等数学思维的研究，提出了数学概念教学的APOS理论，对数学概念进行活动阶段、程序阶段、对象阶段和图式阶段，通过这四个阶段的活动最终使学生达到对数学概念的内化、协调、浓缩、一般化及反演，这一过程既注重了学生的直接经验，又注重了学生的心理建构，对数学概念教学设计有积极作用。
　　在社会现代化的进程中，学生自身、家庭和社会对高中数学教学有更高的要求和期待，作为一线教育者，我们需要不断提高自身专业知识和技能，站在MPCK视角下审视自己的教学，不断完善自我教学，提高自我的课程实施水平。通过加强自身的学科知识、相关学习知识以及教育学知识改变教学模式，引导学生主动参与课堂学习，激发学生学习的积极性，使得学生的数学知识、技能和素养得到全面提升。
　　（作者单位：陕西省渭南市瑞泉中学）